线性代数：向量空间
前言
2023年下半年的我可以说是“在与线性代数的搏斗中死去了”，学校开了两门线性代数，一门用的课本是Linear Algebra and its Applications, 6th edition, by D. Lay, S. Lay, and J. McDonald， 另一本则是Linear Algebra Done Right.
代数结构初探：群，环，域
这部分记得比较基础，感兴趣请自行移步离散数学/抽象代数。
群 Group
对一个集合 $G$, 我们给它装备上一个二元运算 $\circ : G \times G \rightarrow G$，使得集合对这个二元运算封闭。$$
\begin{align*}
a \in G , b \in G \
a \circ b \in G\
\end{align*}$$
对$G$中任意元素都成立。在这个基础上，满足以下几条性质的代数结构我们便称之为群(group):
$$ \begin{align*}
\text{结合律：}&(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)\
\text{单位元：}&\exists e, \text{使得} \forall g \in G, e \circ g = g \circ e = g\
\text{逆元：}&\exists \gamma, \text{使得} \forall g \in G, \gamma \circ g = g \circ \gamma = e\
\end{align*}
$$
在此基础上，如果还满足交换律
$$ a \circ b= b \circ a$$
那这个群就叫交换群（commutative group）或阿贝尔群（Abelian group）
如果只满足结合律，那么这个代数结构是更为广泛的半群（semigroup）
举例：排列数，中心对称图形的旋转。。。
环 Ring
与群类似，对“加法”$+ : R \times R \rightarrow R $“乘法”$\cdot : R \times R \rightarrow R $两个二元运算封闭的代数结构，若满足以下性质，就叫环（ring）。
- R 和 R上的“加法”构成一个交换群；
- R 和 R上的“乘法”构成一个半群；
- 加法和乘法满足乘法分配律（小学二年级学过）
举例：整数与整数加法、整数乘法， 实数方阵（n*n实数矩阵，n为正整数）与矩阵加法、矩阵乘法（矩阵乘法不满足交换律！！）
域 Field
德语里叫 Körper ，因此符号可以用$K$或者$F$表示
域是一种特殊的环，它的非零元素可以做除法，且域的乘法有交换律。
举例：实数域 $\mathbb{R}$，复数域 $\mathbb{C}$
向量空间/线性空间 Vector Space
在域 $K$ 上定义的一个环。是一个对向量加法和标量乘法封闭的集合 $V$
部分性质
零元唯一，加法逆元唯一
证明V是向量空间
- 零元/零向量存在
- $\forall \mathbf{a,b} \in V,c \in K, \mathbf{a} + c \cdot \mathbf{b} \in V$
实例
Trivial：${ \mathbf{0} }$
n维向量 $\mathbb{R}^n $
实值函数 $f(x) \in \mathbb{R}$
光滑函数与微分/求导运算 $f(x) = C^\infty(\mathbb{R})$
各项系数都在域 $K$ 上，关于 $t$ 的多项式 $ K[t]$
子空间 Subspace
向量空间 $V$ 的一个子集 $U$ : $ U \subseteq V$
如果 $U$ 本身刚好也是一个向量空间，那称 $U$ 是 $V$ 的一个子空间。
快速证明U是V的子空间
- $U$ 包含了 $V$ 的零向量： $\mathbf{0} \in U$
- $\forall \mathbf{a,b} \in U,c \in K, \mathbf{a} + c \cdot \mathbf{b} \in U$
实例
Trivial：${ \mathbf{0} }$ 显然是所有向量空间的子空间
三维空间中一个过原点的平面
最高项次数为有限次n的多项式（n次多项式） $K_n[t]$
反例
不过原点的直线 不是 n维空间的子空间。
对有限的正整数n，$\mathbb{R}^n$ 不是 $\mathbb{R}^{n + 1} $ 的子空间
总结
从定义线性空间入手，能够更有逻辑地引入线性无关，基，线性变换，矩阵，行列式， 特征值与特征向量等关键概念。方便掌握线性代数的本质。
